霍克锂电池基于模糊逻辑的并联电池组间容量差异估计与拓扑排序

引言

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  Model-free relative capacity assessment: The method infers pairwise capacity relations without requiring explicit battery models, OCV parameterization, or prior knowledge of internal resistances, relying solely on measured voltage and current signals.
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  Probabilistic SOH plausibility check: It provides an algorithm-independent, relative reference for plausibilizing SOH estimates in systems with parallel-connected battery packs, rather than an absolute SOH value.
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  Distribution-based inference under real operation: Capacity relations are derived from statistical patterns across multiple operating phases, enabling inference under realistic load profiles without requiring dedicated test cycles.
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  Scalable comparison framework: Pairwise capacity relations are aggregated into a global ranking, with larger numbers of parallel packs improving robustness through mutual consistency checks.
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  Explicit handling of uncertainty: The fuzzy logic formulation maps agreement and contradiction between multiple input distributions to graded confidence levels, making uncertainty an integral part of the output rather than a byproduct.

2. 理论与计算

2.1. 测量分布

电池的内阻与容量作为其老化状态的表征指标，可通过多种可测量信号反映。内阻直接影响并联电池组间的电流分配，而容量则需通过开路电压(OCV)差异进行间接推断。下文将从并联电池组间选定参量的变化规律推导出三个分布(D1)-(D3)。[24]
电池电流i1在并联结构中的n表达式可表示为电路总电流的函数(式(1))。该方程基于稳态假设，即电池瞬时达到平衡电压。(1)i1=itotalR1∑k=1n1/Rk+∑k=1n(OCV1−OCVk)/RkR1∑k=1n1/Rk
电流分布不仅取决于总电流，还取决于开路电压（OCV) 和所连接电池的内阻(R)。在给定形式下，该方程由两个加性项组成。第一项与总电流成正比，仅由所考虑电池的电阻与其余电池电阻之比决定。第二项与总电流无关，表示基于OCV所考虑电池与其他电池之间的差异（以相同电阻比加权）的修正项。在高总电流时，第一项占主导地位，使电阻比成为电流分布的主要决定因素。在低总电流时，第一项可忽略不计，开路电压差异起主导作用。若总电流为零，则仅有开路电压差能驱动电池间电流流动。
这一关系使得电流分布能够作为两种电池特性的隐含指标：在总电流较高阶段（D1）主导分布的电阻差异，以及在总电流较低阶段（D2）决定分布的开路电压差异。由于电阻还受温度和荷电状态影响，观测到的（D1）阶段电池包间差异不能完全归因于老化。
开路电压（OCV）不仅受电流分布中与电阻相关的不均匀性影响，还受电池间容量差异的影响。该参数SOC可通过递归积分充放电安时数进行计算，需考虑库仑效率η，并将结果按总容量进行比例缩放Q（式(2)）。该方程建立了SOC与容量之间的联系；然而由于SOC并非直接可测量量，必须利用其与OCV的关联关系。General而言，较高SOC对应较高OCV，两者关系的敏感度由电芯化学特性决定。通过分析OCV/SOC曲线并聚焦其陡峭区域，可提升该敏感度。(2)SOC(t2)=SOC(t1)−1/Q∫t1t2η(t)i(t)dt
Eq.(2)进一步表明，在相同电流条件下，与低容量电池相比，高容量电池在放电时将表现出更高的开路电压（OCV），而在充电时则表现出更低的OCV。基于这一观测，第三类分布（D3）被定义为：在经历以单向电流（充电或放电）为主的阶段后，电池组从直流母线上同步断开时，其静置状态下测得的电压值。这种行为本质上是非线性和自耦合的，因为并联电路中的总电流分布会受到开路电压变化本身的影响，从而使得各支路电流相等的假设失效。
综上所述，容量差异分析涉及三种分布：

• (D1)
  Current distribution X1 during high-current phases, reflecting resistance variation
• (D2)
  Current distribution X2 during low-current phases, reflecting OCV variation
• (D3)
  Voltage distribution X3 after simultaneous disconnection from the DC link, reflecting OCV variation

当联合考察这三个分布时，可以推断出两个电池包之间的相对容量关系。图1该推理遵循让步三段论，其中(D1)中观察到的差异作为一致性先验。首先，若电池组α在(D1)中系统性地表现出比电池组β更高的电流，则无论这种不平衡的具体物理原因如何，且在不涉及容量差异的情况下，仅基于电阻引起的电流变化，电池组α预期会在放电时达到更低的开路电压(OCV)，在充电时达到更高的OCV。然而，若尽管存在此预期，电池组α仍在(D2)和(D3)中持续表现出放电时更高的OCV和充电时更低的OCV，则该OCV差异不能仅归因于电阻效应。此模式逻辑上表明电池组α相对于群体β（反之亦然）。这两个三段论结论由决策树的外部分支表示图1.
由于(D2)和(D3)两个分布均能提供开路电压差(OCV difference)的信息，若二者结果一致，可通过交叉验证提升结论的可信度。当结果出现分歧时，应通过分析各分布的独立差值(individual delta)、样本总数与标准差所确定的统计显著性(statistical significance)，来评估其各自的可靠性（参见第...节）2.2).
若(D1)与(D2)或(D3)之间不存在禁忌症，则容量差异估计具有最高不确定性。这是由于容量对开路电压(OCV)的影响无法明确区别于变化电池组电流所产生效应，无论这些电流差异源自老化、温度还是荷电状态(SOC)变化。此类情形由决策树的内部结构予以表征。

图1. 用于将测量分布差异与电池组间容量差异相关联的决策树α与电池组β.

2.2. 容量差异估算的模糊逻辑

为估计两组电池包之间的相对能力差异，本文提出一种基于模糊逻辑的方法。该方法无需训练数据，而是直接从已知分布含义及其相互关系推导输出概率（第3节）。2.1该方法通过结合测量输入分布(D1)-(D3)的相对差异，生成概率化输出以量化第一组电池包容量高于或低于第二组电池包的可能性。其核心启发式算法实现了领域知识向概率推理的融合。
作为第一步，从可用的互连电池组中定义独特的双重组合α与β针对每种组合，计算两种电池组在各分布类型上的差异Xi这为每种组合生成三个输入分布，代表原始定义分布的组间差异，记作Xi(α,β)其个体长度为ni样本。对于其中的每一个，其概率密度函数fˆi(x)采用高斯核的核密度估计方法进行估算K(u)，其带宽h依据Scott准则确定（式(3a)–(3b)).(3a)fˆi(x)=1nih∑k=1niKx−xkh(3b)K(u)=12πexp−u22
该模糊系统基于两个主要模糊集Ai,j∈{Apos,Aneg}。隶属度，表示为隶属函数μAi,j∈{μipos,μineg}，由分布函数推导而来fˆi(x)。其中，μipos对应于其正面积上的积分，由pi，同时μineg对应于其负区域的积分。因此，Apos表示正差异，Aneg表示负差异，Xi(α,β)（式(4a)–(4c)).(4a)pi=P(Xi(α,β)>0)=∫0∞fˆi(x)dxAi,j⊂Xi(α,β),μAi,j:Xi(α,β)→[0,1],(4b)pi∈Ai,j⟺μAi,j(pi)>0(4c)μipos=pi;μineg=1−μipos
特别关注那些导致高度不确定性状态的决策路径(图1)。为解决这一问题，通过将每个主模糊集划分为两个子区间，引入了四个模糊子集。相应的隶属度函数μAi,j∈{μipos,high,μipos,low,μineg,high,μineg,low}采用上升与下降斜坡函数（式（5a）–（5d））进行定义，确保隶属度在各自子区间内单调递增，同时将定义子区间外的数值截断为零图2）。核心阈值位于pi=0.5具有直接的语义解释功能，可将模糊情形与具有主导方向的情形区分开来，而额外的细分pi=0.75（对称地存在于pi=0.25处）则将每个初级模糊集细分为弱证据与强证据。这种对称设计使得规则库能以可解释的方式区分置信度，而无需引入额外的启发式假设。
这些子集随后被应用于模糊规则库，对保持接近更确定容量-隐含路径的三种输入分布组合赋予更大权重。通过这种方式，模糊系统减少了在容量比较中向高度不确定结果收敛的倾向。(5a)R(p;a,b)=0,p<a,p−ab−a,a≤p≤b,0,p>b,(5b)F(p;a,b)=0,p<a,b−pb−a,a≤p≤b,0,p>b,(5c)μipos,high=R(pi;0.75,1);μipos,low=F(pi;0.5,0.75)（5d）μineg,high=F(pi;0,0.25);μineg,low=R(pi;0.25,0.5)
该模糊系统采用Sugeno型函数后件设计。在模糊规则的一般表述中，规则的输出j被表示为间接输入的函数pi（式(6))。这种方法无需显式定义模糊输出集，而是直接将输出表示为输入的函数，从而允许以数学上一致的方式将关于输入-输出关系的启发式推理纳入系统。在当前案例中这一设计尤为适用，因为输入和输出均为基于分布的概率量，可以进行一致性组合。由于该系统表示从输入到输出的静态映射，不涉及时间反馈或自适应参数，每次评估都是独立的，无需考虑收敛性问题。(6)Rj:IFX1(α,β)∈A1,jANDX2(α,β)∈A2,jANDX3(α,β)∈A3,jTHENpy(Rj)=f(p1,p2,p3)

图2. 隶属度函数随pi所有输入隶属度函数的配对μi.

为简化起见，规则的输出函数仅根据输入分布正区域的积分定义，记为pi，因为所有其他隶属度均由此量导出。该函数将pi极化至[−s,s]区间，其中s作为缩放因子，以提高可解释性和可视化效果。随后根据具体规则内容，将极化值重新缩放至新区间[ai,j,bi,j]（式(7a)–(7b)).pi∈[0,1]↦pi,pol=s(2pi−1)∈[−s,s](7a)↦pi,scaled=f(pi,pol)∈[ai,j,bi,j]⊂R(7b)fors=1:f:[−1,1]→[ai,j,bi,j]
共定义了十二条规则。根据不同模糊集的逻辑组合，将根据缩放因子函数应用特定的缩放区间。s (表1)。规则定义遵循决策树的结构（图1）：规则R1至R6对应树的右侧分支（对(D1)的肯定决策），而其余规则R7至R12对应左侧分支。第一条规则(R1与R7)捕获外部分支，这些分支代表具有显著容量影响的决策路径。随后的规则对(R2,R3与R7,R8)表示两种基于开路电压的分布(D2)和(D3)在开路电压差异影响方面相互矛盾的案例，从而为容量比较引入更高不确定性。最后，其余规则子集(R4,R5,R6与R10,R11,R12)处理决策树的两条内部不确定路径，二者均将输出导向零值并整合四个模糊子集。

表1. 模糊规则概述

规则Rj	输入X1(α,β)		输入X2(α,β)		输入X3(α,β)
空白单元格	A1,j	[a1,j,b1,j]	A2,j	[a2,j,b2,j]	A3,j	[a3,j,b3,j]
R1	Apos	[s/2,2]	Apos	[s/2,s]	Apos	[s/2,s]
R2			Aneg	[−s/2,s/2]	Apos	[s/2,s]
R3			Apos	[s/2,s]	Aneg	[−s/2,s/2]
R4	Apos	[0,0]	Aneg	[0,0]	Aneg	[0,0]
R5	Apos,high	[s/2,s]	Aneg,low	[−s/2,s/2]	Aneg,low	[−s/2,s/2]
R6	Apos,low	[−s/2,s/2]	Aneg,high	[−s,−s/2]	Aneg,high	[−s,−s/2]
R7	Aneg	[−s,−s/2]	Aneg	[−s,−s/2]	Aneg	[−s,−s/2]
R8			Aneg	[−s,−s/2]	Apos	[−s/2,s/2]
R9			Apos	[−s/2,s/2]	Aneg	[−s,−s/2]
R10	Aneg	[0,0]	Apos	[0,0]	Apos	[0,0]
R11	Aneg,high	[−s,−s/2]	Apos,low	[−s/2,s/2]	Apos,low	[−s/2,s/2]
R12	Aneg,low	[−s/2,s/2]	Apos,high	[s/2,s]	Apos,high	[s/2,s]

缩放区间将输入分布映射Xi(α,β)同符号分布至输出区间的外围区域[−s,s]，而矛盾分布则向中心重新缩放。这使得一致分布（(D1)与(D2)或(D1)与(D3)）之间的微小偏差能够放大其联合趋势，而较大偏差仍可将输出拉向相反方向。输出区间划分为[−s,−s/2,0,s/2,s]直接源于决策树逻辑：外围区间代表能力差异的强一致性证据，内部区间则对应部分冲突或较弱的指示。对称半阶间距确保语义置信度层级间的等距过渡，当输入分布间一致性增强时，会产生按比例缩放的单调输出行为。
为降低输出结果的不确定性，模糊子集的定义需满足：基于(D1)或(D2)/(D3)分布对正负集合的高隶属度能补偿微弱的反向输入。该处理方式反映出符号一致性为特定容量关系提供依据，而符号相异则表明不确定性而非对立关系。然而，通过定量评估分布内的正负差异，仍可推断出趋势倾向，使系统能够为特定结果分配更高概率。
总体而言，模糊参数的选择旨在以透明且可解释的形式**限制级**编码该方法的定性决策逻辑，而非追求特定数据集的数值最优性。阈值的中度变化主要影响输出结果的置信度，但鲜少改变其符号特征——因为推理过程依赖于三个分布间的相对一致性及矛盾模式。
转换后的概率pi,scaled被汇总为加权平均值，以考量基于开路电压（OCV）输入分布的统计相关性X2,3(α,β)（式(8a)–(8b))。对于(D1)（i=1），权重固定为w1=1。对于(D2)和(D3)（i=2,3权重根据标准差以相对贡献的形式计算σi以及样本量ni。为确保不同物理单位间的可比性，X2,3(α,β)在计算前被缩放至其最小值和最大值范围。σi对权重应用根函数以调整(D2)与(D3)间样本数量的严重不平衡——这种不平衡源自其定义本身。在所分析的城市公交数据集中(第 %%4.2观测到；该数值可能因车辆或运行场景不同而变化，而(D2)与(D3)之间的定性失衡始终是监测逻辑的固有特性。n2/n3≳100 is observed; this value may vary for other vehicles or operating scenarios, while the qualitative imbalance between (D2) and (D3) remains inherent to the monitoring logic.(8a)wi=ni3/σi∑k=23nk3/σk,i=2,3(8b)py(Rj)=∑iwipi,scaled∑iwi
由于模糊规则被表述为输入之间的合取关系，每条规则的触发强度μ(Rj)被定义为所有输入相对于其对应集合的隶属度中的最小值（式(9)）。通过该值，可确定规则的激活水平。(9)μ(Rj)=mini(μAi,j)
无需进行解模糊化处理，因为Sugeno模糊系统中的输出已是标量形式。系统总输出通过规则输出的加权平均值计算得出py(Rj)，其中权重对应于各规则的触发强度μ(Rj)（式(10)）。聚合输出值PY(α,β)∈[−s,s]用于量化表征pack间的推断容量关系α与电池组β。当该值为PY(α,β)接近s表明极有可能 packα的容量高于 packβ，而趋近于−s的值则意味着相反情况（Qα<Qβ）。输出值接近零反映对容量关系的高度不确定性。(10)PY(α,β)=∑jμ(Rj)py(Rj)∑jμ(Rj)
为便于可视化，模糊规则通过以下参数表征：s=1并假设OCV分布具有相同权重w2,3=0.5因此输出量PY(α,β)可表示为恒定值的等值面μ1pos∈{0,0.1,0.2,…,0.9,1}其函数表达式为μ2pos与μ3pos，其中互补关系μineg=1−μipos应用 (图3)。与子集相关的规则导致中心区域在 X1(α,β)为负值时形成更显著的凹面 ( μ1pos→0)，而当 X1(α,β)增大时则形成更显著的凸面 (μ1pos→1).

图3. 模糊规则输出的可视化：PY(α,β)作为...的函数μipos.

2.3. 电池包容量的拓扑排序

第2.2节中确定的电池包容量关系量化方法，得出了成对电池包之间的双边比较结果。这组成对的逻辑关联随后可用于构建所有并联电池包容量的全局排序。
在图论中，拓扑排序提供了一种根据依赖关系排列有向图顶点的方法。设G=(V,E)为一个有限有向无环图（DAG），其中V为顶点集E⊆V×V是有向边的集合。一个拓扑排序π的G被定义为双射（公式(11)），使得对于每条边(vi,vj)∈E满足排序条件π(vi)<π(vj)得到满足。(11)π:V→{1,2,…,|V|}
当且仅当图中不含任何有向环时（式G该拓扑序(12)).(12)¬∃v1,…,vk∈V,k≥2:(v1,v2),(v2,v3),…,(vk,v1)∈E
可视为偏序关系π的线性扩展≺其中，V, where vi≺vj如果存在从vi至vj到G的有向路径，则该规则适用。这意味着满足一致性属性（式(13)).(13)vi≺vj⟹π(vi)<π(vj),∀vi,vj∈V.
每个电池组的容量被表示为集合V中的一个顶点，其中顶点的排序由组间容量的双向比较决定α与电池组β，记作PY(α,β)（式(14a)–(14b)).(14a)PY(α,β)<0⟹Qα≺Qβ(14b)PY(α,β)>0⟹Qβ≺Qα
如果PY(α,β)=0则无法确定容量差异的证据，对应的数据包表现为独立顶点。
邻接矩阵A∈{0,1}|V|×|V|编码有向图中成对容量关系的定向性G=(V,E)（式(15))，而入度deg−(vj)顶点的vj量化了在诱导偏序中严格小于其容量的前驱数量（式。(16)).(15)Aij=1,(vi,vj)∈E,0,otherwise,(16)deg−(vj)=∑i=1|V|Aij,
线性扩展采用Kahn拓扑排序算法构建：

• 1.
  Initialize an empty ordered list L and S={v∈V∣deg−(v)=0}.
• 2.
  While S≠0̸:
  • (a)
    Select and remove v∈S, append v to L.
  • (b)
    For each (vi,vj)∈E, remove the edge (set Aij=0).
  • (c)
    Insert vj into S if deg−(vj)=0.
• 3.
  If nonzero entries remain in the adjacency matrix A after termination, the graph contains a directed cycle; otherwise, L is a valid topological order.

该循环检测作为对估计成对关系的一致性检验PY(α,β)。若未检测到循环，则从S选取不同顶点将产生相异的有效排序，使得所有算法执行结果均对应于该偏序的线性扩展。此类线性扩展的数量随独立顶点数的增加而增长。
图4展示了包含五个包装容量的示例有向无环图。在此案例中仅PY(2,3)等于零（各顶点间均存在连接），因此可产生两种一致序列：包装2和3的容量在排序中可占据第二或第三位（如公式(17a)–(17b)).(17a)π(Q1)<π(Q2)<π(Q3)<π(Q4)<π(Q5)(17b)π(Q1)<π(Q3)<π(Q2)<π(Q4)<π(Q5)

图 4. 电池组容量的示例有向无环图(DAG)。